Rekenset.nl
Trillingen
Trilling : periodieke beweging rondom een evenwichtsstand
De uitwijking u is een functie van de tijd
Amplitude A de
maximale uitwijking
f = 1/T
Trillingstijd T
(tijdsduur van een volledige trilling) in s
frequentie f
(aantal trillingen per seconde)
in Hz
Harmonische trilling:
Uitwijking u (t) is een
sinusfunctie van de tijd
u(t) = A sin (2 π
f t) (Als op
t = 0 s het punt in positieve richting door de evenwichtsstand
gaat)
u uitwijking in m
A amplitude in m
(u en A mogen ook beide in een andere eenheid bijv. cm)
Rekenvoorbeeld 1
Een punt trilt harmonisch met f = 20,0 Hz.
A = 5,0 cm
Op t= 0 s gaat het
punt in positieve richting door de evenwichtsstand
Bereken de uitwijking op t = 0,018 s
u = A sin (2
π
f t) = 5,0 sin (2
π.20.0,018)
= 5,0 sin (2,26) = 5,0. 0,77
= 3,85 cm
Let op : rekenapparaat op
RAD !!!
Rekenvoorbeeld 2
Op welke tijdstippen (t < 0,05 s) in bovenstand voorbeeld is de
uitwijking +3,0 cm ?
Vul de formule in:
3,0 = 5,0 sin (2 π
20 t)
3,0/5,0 =
sin (2 π
20 t)
0,6 = sin (2
π 20
t)
( sin-1 0,6 = 0,64 )
0,64 = 2
π 20 t
t
=
5,12.10-3 s
Er is nog een oplossing : 0,025 – 5,12.10-3 = 0,0199
s = 19,9.10-3 s
Bij een harmonische trilling geldt ook : F(t) = - C.u(t)
F(t) (de
terugdrijvende kracht ) is rechtevenredig met de uitwijking u(t)
F kracht in N
u uitwijking in m
C veerconstante in N/m
Fase
φ = t/T
fase φ : aantal trillingen dat is uitgevoerd, geen
eenheid
Deze formule alleen gebruiken als op t = 0 s de fase 0 is dwz op
t = 0 s gaat het trillende deeltje in positieve richting door de
evenwichtsstand.
Gereduceerde fase = fase – aantal helen
Toelichting:
Een deeltje trilt harmonisch met f = 5,0 Hz . Op t=0 s gaat het
door de evenwichtstand omhoog
De fase op t = 0,34 s is dan :
φ
= 0,34/0,20 =
1,7
De
gereduceerde fase φred
= 0,7
Maximale snelheid
Als het trillende punt door de evenwichtsstand gaat is de
snelheid maximaal
vmax
= (2 π A)/ T
De gereduceerde fase is dan 0 (punt gaat in positieve richting
door de evenwichtsstand) of 0,5
(punt gaat in negatieve richting door de evenwichtsstand)
Trillende massa
Rekenvoorbeeld 3
T = 2 π
√( m/C)
T in s ; m in kg ; C in N/m
Een voorwerp trilt aan een veer
C = 10 N/m T
= 2,0 s
Bereken de massa van het voorwerp
2,0 = 2 π
√(m/10)
0,318 = √(m/10)
kwadrateren
0,1013 = m/10
m = 1,0 kg
Slingerende massa
Rekenvoorbeeld 4
T = 2 π √
ℓ/g
T in s ; ℓ in m ; g in m.s-2
De duur van 1 slingering bedraagt 1,0 s. Bereken de
slingerlengte.
1,0 = 2 π
√ℓ/9,81
1,0/(2 π) = √ ℓ/9,81
0,159 = √ ℓ/9,81
kwadrateren
0,025 =
ℓ/9,81
ℓ
= 9,81 . 0,025 = 0,25 m
Trillingsenergie
Bij een trilling wordt
steeds kinetische energie omgezet in potentiële energie en
andersom.
In de evenwichtsstand
is de kinetische energie (Ek)
maximaal en de uiterste stand de potentiële energie (Ep).
Bij een ongedempte
trilling is de som van Ek en Ep constant.
Deze som noemen we trillingsenergie
Etr
= Ek + Ep
= Ek,max = Ep,max
Etr
= ½ m vmax2 =
½ m (2
π
A/T)2 = ½ m (4 π2
A2 / T2) = (2 π2
A2) /T2
= 2 m π2
A2 f2
Ook geldt:
Etr
= ½ C A2
Ep in
uiterste stand
Uit T =
2 π √m/C volgt
C = 4 π2
m/T2
Dus
ook nu E tr = ½
(4 π2
m/T2) A2 = (2 m π2
A2)
T2 = 2
m π2
A2 f2
Etr
trillingsenergie
in J
m massa in kg
A amplitude in m
f frequentie in Hz