Rekenset.nl

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

English version

Trillingen

Trilling : periodieke beweging rondom een evenwichtsstand

 

De uitwijking u is een functie van de tijd                                                

Amplitude A  de maximale uitwijking 

 

f = 1/T

Trillingstijd  T (tijdsduur van een volledige trilling) in s

frequentie f  (aantal trillingen per seconde)  in Hz

  

Harmonische trilling:

Uitwijking u (t) is een sinusfunctie van de tijd

u(t) = A sin (2 π f t)         (Als op t = 0 s het punt in positieve richting door de evenwichtsstand gaat)

u uitwijking in m

A amplitude in m        (u en A mogen ook beide in een andere eenheid bijv. cm)

 

Rekenvoorbeeld 1

Een punt trilt harmonisch met f = 20,0 Hz.    A = 5,0 cm   

Op  t= 0 s gaat het punt in positieve richting door de evenwichtsstand

Bereken de uitwijking op t = 0,018 s

 

u = A sin (2  π f t) = 5,0 sin (2 π.20.0,018) = 5,0 sin (2,26) = 5,0. 0,77 = 3,85 cm   

 

Let op : rekenapparaat op  RAD !!!

                                                                                                          

Rekenvoorbeeld 2

Op welke tijdstippen (t < 0,05 s) in bovenstand voorbeeld is de uitwijking +3,0 cm ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vul de formule in:                                         

3,0 = 5,0 sin (2 π 20 t)                                                               

3,0/5,0 = sin (2 π 20 t)

0,6 = sin (2 π 20 t)      ( sin^-1 0,6 = 0,64 )

0,64 = 2 π 20 t

t  = 5,12.10^-3 s   

 

Er is nog een oplossing : 0,025 – 5,12.10^-3 = 0,0199 s = 19,9.10^-3 s

 

Bij een harmonische trilling geldt ook : F(t) = - C.u(t)

F(t)   (de terugdrijvende kracht ) is rechtevenredig met de uitwijking u(t)

F kracht in N

u uitwijking in m

C veerconstante in N/m  

 

Fase

φ = t/T   fase φ : aantal trillingen dat is uitgevoerd, geen eenheid

              

Deze formule alleen gebruiken als op t = 0 s de fase 0 is dwz op t = 0 s gaat het trillende deeltje in positieve richting door de evenwichtsstand.

 

Gereduceerde fase = fase – aantal helen

Toelichting:

Een deeltje trilt harmonisch met f = 5,0 Hz . Op t=0 s gaat het door de evenwichtstand omhoog

De fase op t = 0,34 s is dan :   φ = 0,34/0,20 = 1,7

De gereduceerde fase φ_red = 0,7

 

Maximale snelheid

Als het trillende punt door de evenwichtsstand gaat is de snelheid maximaal

v_max = (2 π A)/ T

De gereduceerde fase is dan 0 (punt gaat in positieve richting door de evenwichtsstand) of 0,5

(punt gaat in negatieve richting door de evenwichtsstand)

 

Trillende massa

Rekenvoorbeeld 3

T = 2 π √( m/C)           T in s ; m in kg ; C in N/m

 

Een voorwerp trilt aan een veer  C = 10 N/m  T = 2,0 s

 

Bereken de massa van het voorwerp

 

2,0 = 2 π √(m/10)

 

0,318 = √(m/10)   kwadrateren

 

0,1013 = m/10

 

m = 1,0 kg

 

Slingerende massa

Rekenvoorbeeld 4

T = 2 π √ ℓ/g        T in s ; ℓ in m ; g in m.s^-2

 

De duur van 1 slingering bedraagt 1,0 s. Bereken de slingerlengte.

 

1,0 = 2 π √ℓ/9,81

 

1,0/(2 π) = √ ℓ/9,81

 

0,159 = √ ℓ/9,81   kwadrateren

 

0,025 = ℓ/9,81  

 

ℓ = 9,81 . 0,025 = 0,25 m

 

Trillingsenergie

Bij een trilling wordt steeds kinetische energie omgezet in potentiële energie en andersom.

In de evenwichtsstand is de kinetische energie (E_k)  maximaal en de uiterste stand de potentiële energie (E_p).

 

Bij een ongedempte trilling is de som van E_k en E_p constant. Deze som noemen we trillingsenergie

 

E_tr = E_k + E_p = E_k,max = E_p,max

E_tr = ½ m v_max² = ½ m (2 π A/T)² = ½ m (4 π² A² / T²) = (2 π² A²)  /T² = 2 m π² A² f²

 

Ook geldt:

E_tr = ½ C A²      E_p in uiterste stand

 

Uit T = 2 π √m/C volgt    C = 4 π² m/T²     

 

Dus   ook nu E _tr = ½    (4 π² m/T²) A² = (2 m π² A²) T² =      2 m π² A² f²

E_tr  trillingsenergie in J

m   massa in kg

A    amplitude in m

f     frequentie in Hz